Precálculo Ejemplos

Hallar el ratio de cambio medio V(r)=4/3pir^3
V(r)=43πr3V(r)=43πr3
Paso 1
Considera la fórmula del cociente diferencial.
f(r+h)-frhf(r+h)frh
Paso 2
Obtén los componentes de la definición.
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Paso 2.1
Evalúa la función en x=r+hx=r+h.
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Paso 2.1.1
Reemplaza la variable rr con r+hr+h en la expresión.
V(r+h)=43(π(r+h)3)V(r+h)=43(π(r+h)3)
Paso 2.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 2.1.2.1
Usa el teorema del binomio.
V(r+h)=43(π(r3+3r2h+3rh2+h3))V(r+h)=43(π(r3+3r2h+3rh2+h3))
Paso 2.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
V(r+h)=43(πr3+π(3r2h)+π(3rh2)+πh3)V(r+h)=43(πr3+π(3r2h)+π(3rh2)+πh3)
Paso 2.1.2.3
Elimina los paréntesis.
V(r+h)=43(πr3+π(3r2h)+π(3rh2)+πh3)V(r+h)=43(πr3+π(3r2h)+π(3rh2)+πh3)
Paso 2.1.2.4
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.4.1
Mueve 33 a la izquierda de ππ.
V(r+h)=43(πr3+3(πr2h)+π(3rh2)+πh3)V(r+h)=43(πr3+3(πr2h)+π(3rh2)+πh3)
Paso 2.1.2.4.2
Mueve 33 a la izquierda de ππ.
V(r+h)=43(πr3+3πr2h+3πrh2+πh3)V(r+h)=43(πr3+3πr2h+3πrh2+πh3)
V(r+h)=43(πr3+3πr2h+3πrh2+πh3)V(r+h)=43(πr3+3πr2h+3πrh2+πh3)
Paso 2.1.2.5
Aplica la propiedad distributiva.
V(r+h)=43(πr3)+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)V(r+h)=43(πr3)+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1.2.6.1
Multiplica 43(πr3)43(πr3).
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Paso 2.1.2.6.1.1
Combina ππ y 4343.
V(r+h)=π43r3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)V(r+h)=π43r3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.1.2
Combina π43π43 y r3r3.
V(r+h)=π(4r3)3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)V(r+h)=π(4r3)3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
V(r+h)=π(4r3)3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)V(r+h)=π(4r3)3+43(3πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.2
Cancela el factor común de 33.
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Paso 2.1.2.6.2.1
Factoriza 33 de 3πr2h3πr2h.
V(r+h)=π(4r3)3+43(3(πr2h))+43(3πrh2)+43(πh3)V(r+h)=π(4r3)3+43(3(πr2h))+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.2.2
Cancela el factor común.
V(r+h)=π(4r3)3+43(3(πr2h))+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.2.3
Reescribe la expresión.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+43(3πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.3
Cancela el factor común de 3.
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Paso 2.1.2.6.3.1
Factoriza 3 de 3πrh2.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+43(3(πrh2))+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.3.2
Cancela el factor común.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+43(3(πrh2))+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.3.3
Reescribe la expresión.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+43(πh3)
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+43(πh3)
Paso 2.1.2.6.4
Multiplica 43(πh3).
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Paso 2.1.2.6.4.1
Combina π y 43.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+π43h3
Paso 2.1.2.6.4.2
Combina π43 y h3.
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+π(4h3)3
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+π(4h3)3
V(r+h)=π(4r3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+π(4h3)3
Paso 2.1.2.7
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.7.1
Mueve 4 a la izquierda de π.
V(r+h)=4(πr3)3+4(πr2h)+4(πrh2)+π(4h3)3
Paso 2.1.2.7.2
Mueve 4 a la izquierda de π.
V(r+h)=4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33
V(r+h)=4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33
Paso 2.1.2.8
La respuesta final es 4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33.
4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33
4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33
4πr33+4πr2h+4πrh2+4πh33
Paso 2.2
Reordena.
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Paso 2.2.1
Mueve r2.
4πr33+4πhr2+4πrh2+4πh33
Paso 2.2.2
Mueve r.
4πr33+4πhr2+4πh2r+4πh33
Paso 2.2.3
Mueve 4πr33.
4πhr2+4πh2r+4πh33+4πr33
Paso 2.2.4
Mueve 4πhr2.
4πh2r+4πh33+4πhr2+4πr33
Paso 2.2.5
Reordena 4πh2r y 4πh33.
4πh33+4πh2r+4πhr2+4πr33
4πh33+4πh2r+4πhr2+4πr33
Paso 2.3
Obtén los componentes de la definición.
V(r+h)=4πh33+4πh2r+4πhr2+4πr33
V(r)=4πr33
V(r+h)=4πh33+4πh2r+4πhr2+4πr33
V(r)=4πr33
Paso 3
Inserta los componentes.
V(r+h)-Vrh=4πh33+4πh2r+4πhr2+4πr33-(4πr33)h
Paso 4
Simplifica.
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Paso 4.1
Simplifica el numerador.
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Paso 4.1.1
Resta 4πr33 de 4πr33.
4πh33+4πh2r+4πhr2+0h
Paso 4.1.2
Suma 4πh33+4πh2r+4πhr2 y 0.
4πh33+4πh2r+4πhr2h
Paso 4.1.3
Factoriza 4πh de 4πh33+4πh2r+4πhr2.
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Paso 4.1.3.1
Factoriza 4πh de 4πh33.
4πhh23+4πh2r+4πhr2h
Paso 4.1.3.2
Factoriza 4πh de 4πh2r.
4πhh23+4πh(hr)+4πhr2h
Paso 4.1.3.3
Factoriza 4πh de 4πhr2.
4πhh23+4πh(hr)+4πhr2h
Paso 4.1.3.4
Factoriza 4πh de 4πhh23+4πh(hr).
4πh(h23+hr)+4πhr2h
Paso 4.1.3.5
Factoriza 4πh de 4πh(h23+hr)+4πhr2.
4πh(h23+hr+r2)h
4πh(h23+hr+r2)h
Paso 4.1.4
Para escribir hr como una fracción con un denominador común, multiplica por 33.
4πh(h23+hr33+r2)h
Paso 4.1.5
Combina hr y 33.
4πh(h23+hr33+r2)h
Paso 4.1.6
Combina los numeradores sobre el denominador común.
4πh(h2+hr33+r2)h
Paso 4.1.7
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.7.1
Factoriza h de h2+hr3.
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Paso 4.1.7.1.1
Factoriza h de h2.
4πh(hh+hr33+r2)h
Paso 4.1.7.1.2
Factoriza h de hr3.
4πh(h(h)+h(r3)3+r2)h
Paso 4.1.7.1.3
Factoriza h de h(h)+h(r3).
4πh(h(h+r3)3+r2)h
4πh(h(h+r3)3+r2)h
Paso 4.1.7.2
Mueve 3 a la izquierda de r.
4πh(h(h+3r)3+r2)h
4πh(h(h+3r)3+r2)h
Paso 4.1.8
Para escribir r2 como una fracción con un denominador común, multiplica por 33.
4πh(h(h+3r)3+r233)h
Paso 4.1.9
Combina r2 y 33.
4πh(h(h+3r)3+r233)h
Paso 4.1.10
Combina los numeradores sobre el denominador común.
4πhh(h+3r)+r233h
Paso 4.1.11
Simplifica el numerador.
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Paso 4.1.11.1
Aplica la propiedad distributiva.
4πhh(h)+h(3r)+r233h
Paso 4.1.11.2
Multiplica h por h.
4πhh2+h(3r)+r233h
Paso 4.1.11.3
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
4πhh2+3hr+r233h
Paso 4.1.11.4
Mueve 3 a la izquierda de r2.
4πhh2+3hr+3r23h
4πhh2+3hr+3r23h
Paso 4.1.12
Combina exponentes.
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Paso 4.1.12.1
Combina 4 y h2+3hr+3r23.
πh4(h2+3hr+3r2)3h
Paso 4.1.12.2
Combina π y 4(h2+3hr+3r2)3.
hπ(4(h2+3hr+3r2))3h
Paso 4.1.12.3
Combina h y π(4(h2+3hr+3r2))3.
h(π(4(h2+3hr+3r2)))3h
h(π(4(h2+3hr+3r2)))3h
Paso 4.1.13
Elimina los paréntesis innecesarios.
hπ4(h2+3hr+3r2)3h
Paso 4.1.14
Mueve 4 a la izquierda de hπ.
4hπ(h2+3hr+3r2)3h
4hπ(h2+3hr+3r2)3h
Paso 4.2
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
4hπ(h2+3hr+3r2)31h
Paso 4.3
Combinar.
4hπ(h2+3hr+3r2)13h
Paso 4.4
Cancela el factor común de h.
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Paso 4.4.1
Cancela el factor común.
4hπ(h2+3hr+3r2)13h
Paso 4.4.2
Reescribe la expresión.
4π(h2+3hr+3r2)13
4π(h2+3hr+3r2)13
Paso 4.5
Multiplica 4 por 1.
4π(h2+3hr+3r2)3
4π(h2+3hr+3r2)3
Paso 5
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