Precálculo Ejemplos

Hallar el ratio de cambio medio f(x)=-1/(x^2-36)
f(x)=-1x2-36
Paso 1
Considera la fórmula del cociente diferencial.
f(x+h)-f(x)h
Paso 2
Obtén los componentes de la definición.
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Paso 2.1
Evalúa la función en x=x+h.
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Paso 2.1.1
Reemplaza la variable x con x+h en la expresión.
f(x+h)=-1(x+h)2-36
Paso 2.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 2.1.2.1
Simplifica el denominador.
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Paso 2.1.2.1.1
Reescribe 36 como 62.
f(x+h)=-1(x+h)2-62
Paso 2.1.2.1.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, a2-b2=(a+b)(a-b), donde a=x+h y b=6.
f(x+h)=-1(x+h+6)(x+h-6)
f(x+h)=-1(x+h+6)(x+h-6)
Paso 2.1.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
f(x+h)=-1(x+h+6)(x+h-6)
Paso 2.1.2.3
La respuesta final es -1(x+h+6)(x+h-6).
-1(x+h+6)(x+h-6)
-1(x+h+6)(x+h-6)
-1(x+h+6)(x+h-6)
Paso 2.2
Obtén los componentes de la definición.
f(x+h)=-1(x+h+6)(x+h-6)
f(x)=-1(x+6)(x-6)
f(x+h)=-1(x+h+6)(x+h-6)
f(x)=-1(x+6)(x-6)
Paso 3
Inserta los componentes.
f(x+h)-f(x)h=-1(x+h+6)(x+h-6)-(-1(x+6)(x-6))h
Paso 4
Simplifica.
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Paso 4.1
Simplifica el numerador.
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Paso 4.1.1
Multiplica --1(x+6)(x-6).
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Paso 4.1.1.1
Multiplica -1 por -1.
-1(x+h+6)(x+h-6)+11(x+6)(x-6)h
Paso 4.1.1.2
Multiplica 1(x+6)(x-6) por 1.
-1(x+h+6)(x+h-6)+1(x+6)(x-6)h
-1(x+h+6)(x+h-6)+1(x+6)(x-6)h
Paso 4.1.2
Para escribir -1(x+h+6)(x+h-6) como una fracción con un denominador común, multiplica por (x+6)(x-6)(x+6)(x-6).
-1(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x-6)(x+6)(x-6)+1(x+6)(x-6)h
Paso 4.1.3
Para escribir 1(x+6)(x-6) como una fracción con un denominador común, multiplica por (x+h+6)(x+h-6)(x+h+6)(x+h-6).
-1(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x-6)(x+6)(x-6)+1(x+6)(x-6)(x+h+6)(x+h-6)(x+h+6)(x+h-6)h
Paso 4.1.4
Escribe cada expresión con un denominador común de (x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x-6), mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de 1.
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Paso 4.1.4.1
Multiplica 1(x+h+6)(x+h-6) por (x+6)(x-6)(x+6)(x-6).
-(x+6)(x-6)(x+h+6)(x+h-6)((x+6)(x-6))+1(x+6)(x-6)(x+h+6)(x+h-6)(x+h+6)(x+h-6)h
Paso 4.1.4.2
Multiplica 1(x+6)(x-6) por (x+h+6)(x+h-6)(x+h+6)(x+h-6).
-(x+6)(x-6)(x+h+6)(x+h-6)((x+6)(x-6))+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x-6)((x+h+6)(x+h-6))h
Paso 4.1.4.3
Reordena los factores de (x+h+6)(x+h-6)((x+6)(x-6)).
-(x+6)(x-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x-6)((x+h+6)(x+h-6))h
Paso 4.1.4.4
Reordena los factores de (x+6)(x-6)((x+h+6)(x+h-6)).
-(x+6)(x-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-(x+6)(x-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
-(x+6)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6
Simplifica el numerador.
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Paso 4.1.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
(-x-16)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.2
Multiplica -1 por 6.
(-x-6)(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.3
Expande (-x-6)(x-6) con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 4.1.6.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
-x(x-6)-6(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.3.2
Aplica la propiedad distributiva.
-xx-x-6-6(x-6)+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.3.3
Aplica la propiedad distributiva.
-xx-x-6-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-xx-x-6-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 4.1.6.4.1
Simplifica cada término.
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Paso 4.1.6.4.1.1
Multiplica x por x sumando los exponentes.
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Paso 4.1.6.4.1.1.1
Mueve x.
-(xx)-x-6-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4.1.1.2
Multiplica x por x.
-x2-x-6-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2-x-6-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4.1.2
Multiplica -6 por -1.
-x2+6x-6x-6-6+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4.1.3
Multiplica -6 por -6.
-x2+6x-6x+36+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2+6x-6x+36+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4.2
Resta 6x de 6x.
-x2+0+36+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.4.3
Suma -x2 y 0.
-x2+36+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2+36+(x+h+6)(x+h-6)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.5
Expande (x+h+6)(x+h-6) mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
-x2+36+xx+xh+x-6+hx+hh+h-6+6x+6h+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6
Combina los términos opuestos en xx+xh+x-6+hx+hh+h-6+6x+6h+6-6.
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Paso 4.1.6.6.1
Reordena los factores en los términos x-6 y 6x.
-x2+36+xx+xh-6x+hx+hh+h-6+6x+6h+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6.2
Suma -6x y 6x.
-x2+36+xx+xh+hx+hh+h-6+0+6h+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6.3
Suma xx+xh+hx+hh+h-6 y 0.
-x2+36+xx+xh+hx+hh+h-6+6h+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6.4
Reordena los factores en los términos h-6 y 6h.
-x2+36+xx+xh+hx+hh-6h+6h+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6.5
Suma -6h y 6h.
-x2+36+xx+xh+hx+hh+0+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.6.6
Suma xx+xh+hx+hh y 0.
-x2+36+xx+xh+hx+hh+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2+36+xx+xh+hx+hh+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.7
Simplifica cada término.
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Paso 4.1.6.7.1
Multiplica x por x.
-x2+36+x2+xh+hx+hh+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.7.2
Multiplica h por h.
-x2+36+x2+xh+hx+h2+6-6(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.7.3
Multiplica 6 por -6.
-x2+36+x2+xh+hx+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2+36+x2+xh+hx+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.8
Suma xh y hx.
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Paso 4.1.6.8.1
Reordena h y x.
-x2+36+x2+xh+xh+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.8.2
Suma xh y xh.
-x2+36+x2+2xh+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
-x2+36+x2+2xh+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.9
Suma -x2 y x2.
0+36+2xh+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.10
Suma 0 y 36.
36+2xh+h2-36(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.11
Resta 36 de 36.
2xh+h2+0(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.12
Suma 2xh+h2 y 0.
2xh+h2(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.13
Factoriza h de 2xh+h2.
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Paso 4.1.6.13.1
Factoriza h de 2xh.
h(2x)+h2(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.13.2
Factoriza h de h2.
h(2x)+h(h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.1.6.13.3
Factoriza h de h(2x)+h(h).
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)h
Paso 4.2
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)1h
Paso 4.3
Cancela el factor común de h.
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Paso 4.3.1
Cancela el factor común.
h(2x+h)(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)1h
Paso 4.3.2
Reescribe la expresión.
2x+h(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)
2x+h(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)
2x+h(x+6)(x+h+6)(x+h-6)(x-6)
Paso 5
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f(x)=-1x2-36
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