Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h - 3}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x - 3}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h - 3}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x - 3}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Expande $(- x + 3) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.9.1

Reordena $h$ y $x$ .

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.9.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $- 3 x$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $0$ y $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Paso 5