Precálculo Ejemplos

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Paso 1

Escribe $f (x) = 6 e^{x}$ como una ecuación.

$y = 6 e^{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = 6 e^{x}$ por $f (3)$ y $f (- 3)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.3

Combina $- 6$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.5

Para escribir $6 e^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.7

Multiplica $e^{3}$ por $e^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.7.1

Mueve $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.1.7.3

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Paso 3.2.2

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Paso 3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $6 e^{6} - 6$ y $6$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $6$ de $6 e^{6}$ .

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $6$ de $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Paso 3.4.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.4.1

Factoriza $6$ de $e^{3} \cdot 6$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Paso 3.4.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Paso 3.4.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Reescribe $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Paso 3.5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = e^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.4

Simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.4.3

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.5.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Paso 3.5.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$