Precálculo Ejemplos

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

Paso 1

Escribe $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{10 - x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{1}{10 - x}$ por $f (8)$ y $f (5)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(10 - (8)) (10 - (5))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ por $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10 - 1 \cdot 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $10 - 1 \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10 - (5)}$ al numerador.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $10 - 1 \cdot 5$ de $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.4.2

Resta $8$ de $10$ .

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.4.4

Resta $5$ de $10$ .

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.4.5

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.2

Resta $8$ de $10$ .

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.4

Resta $5$ de $10$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.5

Multiplica $2 \cdot 5 \cdot 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $10$ por $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.6

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.7

Resta $8$ de $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Paso 3.5.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

Paso 3.5.9

Resta $5$ de $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

Paso 3.5.10

Multiplica $2 \cdot 5 (- (5))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.10.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

Paso 3.5.10.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

Paso 3.5.10.3

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$\frac{3}{80 - 50}$

Paso 3.5.11

Resta $50$ de $80$ .

$\frac{3}{30}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $3$ y $30$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{30}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10}$