Precálculo Ejemplos

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.2.3.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.5

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 ((x + h) (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.6

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Paso 2.1.2.2.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Paso 2.1.2.2.7.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.7.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.2.7.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.7.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$ .

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + x + h$

Paso 2.2.3

Mueve $x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + h + x$

Paso 2.2.4

Mueve $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + h + x$

Paso 2.2.5

Mueve $14 h x$ .

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Paso 2.2.6

Mueve $- 2 x^{3}$ .

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Paso 2.2.7

Mueve $- 6 h x^{2}$ .

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Paso 2.2.8

Reordena $- 6 h^{2} x$ y $- 2 h^{3}$ .

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x$

$f (x) = - 2 x^{3} + 7 x^{2} + x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3} + 7 x^{2} + x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - (- 2 x^{3}) - (7 x^{2}) - x}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - (7 x^{2}) - x}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $- 2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x + 0 - 7 x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- 2 h^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + h + x - 7 x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- 2 h^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + x - x}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ y $0$ .

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $h$ de $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $h$ de $- 2 h^{3}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $h$ de $- 6 h^{2} x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2} + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $h$ de $- 6 h x^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + 7 h^{2} + 14 h x + h}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $7 h^{2}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + 14 h x + h}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $h$ de $14 h x$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h}{h}$

Paso 4.1.9.6

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h^{1}}{h}$

Paso 4.1.9.7

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$\frac{h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.9.8

Factoriza $h$ de $h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.9.9

Factoriza $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.9.10

Factoriza $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}) + h (7 h)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.9.11

Factoriza $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h) + h (14 x)$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.9.12

Factoriza $h$ de $h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$ por $1$ .

$- 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 7 h + 14 x + 1$

Paso 4.2.2.2

Mueve $7 h$ .

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Paso 4.2.2.3

Mueve $- 2 h^{2}$ .

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Paso 4.2.2.4

Reordena $- 6 x h$ y $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 14 x + 7 h + 1$

Paso 5