Precálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

Paso 3.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

Paso 3.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

Paso 3.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Paso 3.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Paso 3.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

Paso 3.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 3.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

Paso 3.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

Paso 3.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

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Paso 3.1.2.1.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.5.2.2

Combina $h$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.5.2.3

Combina $\frac{h \cdot 2}{3}$ y $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Paso 3.1.2.1.6

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Paso 3.2.2

Reordena $\frac{2 h x}{3}$ y $\frac{h^{2}}{3}$ .

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

Paso 5.1.3

Resta $\frac{x^{2}}{3}$ de $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $\frac{h^{2}}{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

Paso 5.1.5

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

Paso 5.1.6

Suma $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

Paso 5.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

Paso 5.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.8.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

Paso 5.1.8.2

Reordena $h^{2}$ y $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

Paso 5.1.9

Factoriza $h$ de $2 x h + h^{2}$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza $h$ de $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

Paso 5.1.9.2

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

Paso 5.1.9.3

Factoriza $h$ de $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x + h}{3}$

Paso 6