Precálculo Ejemplos

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 1

Escribe $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ como una función.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = r + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $r$ con $r + h$ en la expresión.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Paso 3.1.2

La respuesta final es $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Paso 3.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica.

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Paso 5.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.5

Resta $4 π r^{3}$ de $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.6

Suma $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ y $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.7

Factoriza $4 π h$ de $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ .

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Paso 5.1.2.7.1

Factoriza $4 π h$ de $12 π r^{2} h$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.7.2

Factoriza $4 π h$ de $12 π r h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.7.3

Factoriza $4 π h$ de $4 π h^{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.7.4

Factoriza $4 π h$ de $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Paso 5.1.2.7.5

Factoriza $4 π h$ de $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3

Combinar.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Paso 5.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Paso 6