Precálculo Ejemplos

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 4}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 4}$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(t + h) (t + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 4}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 4}$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 4}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $t$ y $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 4}$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 4})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ por $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ por $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $0.2$ de $0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $0.2$ de $0.2 (t + h) (t^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $0.2$ de $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.4

Factoriza $0.2$ de $0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Expande $(t + h) (t^{2} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 4) + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.3.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.3.1.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 4.1.5.3.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.5.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.5.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 4.1.5.5.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.5.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Resta $t^{3}$ de $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $4 t$ y $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $4 t$ de $4 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $2 t^{2} h$ de $h t^{2}$ .

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Paso 4.1.5.11.1

Reordena $h$ y $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.11.2

Resta $2 t^{2} h$ de $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Factoriza $h$ de $- t^{2} h + 4 h - t h^{2}$ .

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Paso 4.1.5.12.1

Factoriza $h$ de $- t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.2

Factoriza $h$ de $4 h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.3

Factoriza $h$ de $- t h^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.4

Factoriza $h$ de $h (- t^{2}) + h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.12.5

Factoriza $h$ de $h (- t^{2} + 4) + h (- t h)$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.5

Multiplica $0.2$ por $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (- 4)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.9

Factoriza $- 1$ de $- t h$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2} - 4) - (t h)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.11

Simplifica la expresión.

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Paso 4.11.1

Reescribe $- (t^{2} - 4 + t h)$ como $- 1 (t^{2} - 4 + t h)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 4.11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 4 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Paso 5