Precálculo Ejemplos

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Paso 1

Escribe $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ como una función.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = r + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $r$ con $r + h$ en la expresión.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Paso 3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Paso 3.1.2.3

Elimina los paréntesis.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Paso 3.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Paso 3.1.2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Paso 3.1.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6

Simplifica.

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Paso 3.1.2.6.1

Multiplica $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

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Paso 3.1.2.6.1.1

Combina $π$ y $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.1.2

Combina $\frac{π \cdot 4}{3}$ y $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.6.3.1

Factoriza $3$ de $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.3.2

Cancela el factor común.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.3.3

Reescribe la expresión.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Paso 3.1.2.6.4

Multiplica $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

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Paso 3.1.2.6.4.1

Combina $π$ y $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Paso 3.1.2.6.4.2

Combina $\frac{π \cdot 4}{3}$ y $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Paso 3.1.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.7.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Paso 3.1.2.7.2

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Paso 3.1.2.8

La respuesta final es $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Paso 3.2.2

Mueve $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Paso 3.2.3

Mueve $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 3.2.4

Mueve $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 3.2.5

Reordena $4 π h^{2} r$ y $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Resta $\frac{4 π r^{3}}{3}$ de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Paso 5.1.2

Suma $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 π h$ de $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $4 π h$ de $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Paso 5.1.3.2

Factoriza $4 π h$ de $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Paso 5.1.3.3

Factoriza $4 π h$ de $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Paso 5.1.3.4

Factoriza $4 π h$ de $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Paso 5.1.3.5

Factoriza $4 π h$ de $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.4

Para escribir $h r$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.5

Combina $h r$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{2} + h r \cdot 3$ .

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Paso 5.1.7.1.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.7.1.2

Factoriza $h$ de $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.7.1.3

Factoriza $h$ de $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Paso 5.1.8

Para escribir $r^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Paso 5.1.9

Combina $r^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Paso 5.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 5.1.11

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 5.1.11.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 5.1.11.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Paso 5.1.11.4

Mueve $3$ a la izquierda de $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Paso 5.1.12

Combina exponentes.

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Paso 5.1.12.1

Combina $4$ y $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Paso 5.1.12.2

Combina $π$ y $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Paso 5.1.12.3

Combina $h$ y $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Paso 5.1.13

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Paso 5.1.14

Mueve $4$ a la izquierda de $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3

Combinar.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Paso 5.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Paso 6