Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{4}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (1) - f (- 1)}{(1) - (- 1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{4}{x^{2} + 1}$ por $f (1)$ y $f (- 1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{4}{{(1)}^{2} + 1}) - (\frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1) - (- 1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$ por $\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}$ .

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)} \cdot \frac{\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (\frac{4}{1^{2} + 1} - \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (1 - (- 1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{4}{1^{2} + 1} + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $1^{2} + 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{{(- 1)}^{2} + 1}$ al numerador.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza ${(- 1)}^{2} + 1$ de $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(1 + 1) \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 4 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 + (1^{2} + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8 + (1 + 1) \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 + 2 \cdot - 4}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.6

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{8 - 8}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.4.7

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{(1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{2 ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{2 (1 + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.5

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{4 + (1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 (1 + 1) (- (- 1))}$

Paso 3.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 2 (- (- 1))}$

Paso 3.5.10

Multiplica $2 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Paso 3.5.10.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 (- (- 1))}$

Paso 3.5.10.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot 1}$

Paso 3.5.10.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Paso 3.5.11

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{0}{8}$

Paso 3.6

Divide $0$ por $8$ .

$0$