Precálculo Ejemplos

$f (x) = 0.03 (10 x - x^{2})$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 0.03 (10 (x + h) - {(x + h)}^{2})$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - {(x + h)}^{2})$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - ((x + h) (x + h)))$

Paso 2.1.2.1.3

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x (x + h) + h (x + h)))$

Paso 2.1.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Paso 2.1.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Paso 2.1.2.1.4.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Paso 2.1.2.1.4.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.4.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Paso 2.1.2.1.4.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Paso 2.1.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2})$

Paso 2.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 0.03 (10 x + 10 h - x^{2} - 2 h x - h^{2})$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 0.03 (10 x) + 0.03 (10 h) + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Paso 2.1.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $10$ por $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.03 (10 h) + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $10$ por $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h + 0.03 (- x^{2}) + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} + 0.03 (- 2 h x) + 0.03 (- h^{2})$

Paso 2.1.2.3.4

Multiplica $- 2$ por $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 (h x) + 0.03 (- h^{2})$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $0.03$ .

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 (h x) - 0.03 h^{2}$

$f (x + h) = 0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$ .

$0.3 x + 0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $0.3 x$ .

$0.3 h - 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2} + 0.3 x$

Paso 2.2.2

Mueve $0.3 h$ .

$- 0.03 x^{2} - 0.06 h x - 0.03 h^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Paso 2.2.3

Mueve $- 0.03 x^{2}$ .

$- 0.06 h x - 0.03 h^{2} - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Paso 2.2.4

Reordena $- 0.06 h x$ y $- 0.03 h^{2}$ .

$- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

$f (x) = 0.3 x - 0.03 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x$

$f (x) = 0.3 x - 0.03 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza $0.01$ de $- 0.03 h^{2} - 0.06 h x - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})$ .

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Paso 4.1.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 4.1.1.1.1

Mueve $h$ .

$\frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (0.3 x - 0.03 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.1.1.2

Reordena $0.3 x$ y $- 0.03 x^{2}$ .

$\frac{- 0.03 h^{2} - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $0.01$ de $- 0.03 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) - 0.06 x h - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $0.01$ de $- 0.06 x h$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) - 0.03 x^{2} + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.4

Factoriza $0.01$ de $- 0.03 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.3 h + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.5

Factoriza $0.01$ de $0.3 h$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.3 x - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.6

Factoriza $0.01$ de $0.3 x$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) - (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)}{h}$

Paso 4.1.1.7

Factoriza $0.01$ de $- (- 0.03 x^{2} + 0.3 x)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.1.8

Factoriza $0.01$ de $0.01 (- 3 h^{2}) + 0.01 (- 6 x h)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.1.9

Factoriza $0.01$ de $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.01 (- 3 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.01 (30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.1.10

Factoriza $0.01$ de $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.01 (30 h)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h) + 0.01 (30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.1.11

Factoriza $0.01$ de $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h) + 0.01 (30 x)$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.1.12

Factoriza $0.01$ de $0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x) + 0.01 (- 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x - 100 (- 0.03 x^{2} + 0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x - 100 (- 0.03 x^{2}) - 100 (0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 0.03$ por $- 100$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x + 3 x^{2} - 100 (0.3 x))}{h}$

Paso 4.1.4

Multiplica $0.3$ por $- 100$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 30 h + 30 x + 3 x^{2} - 30 x)}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 30 x - 30 x)}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $30 x$ de $30 x$ .

$\frac{0.01 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Paso 4.1.7

Reescribe $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $3$ de $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x$ .

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Paso 4.1.7.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Paso 4.1.7.1.2

Factoriza $3$ de $- 6 x h$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 30 h + 0 x)}{h}$

Paso 4.1.7.1.3

Factoriza $3$ de $0 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 30 h + 0 x)}{h}$

Paso 4.1.7.1.4

Factoriza $3$ de $30 h$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 0 x)}{h}$

Paso 4.1.7.1.5

Factoriza $3$ de $0 x$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.1.6

Factoriza $3$ de $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.1.7

Factoriza $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.1.8

Factoriza $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (10 h)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h) + 3 (0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.1.9

Factoriza $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h) + 3 (0 x)$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 10 h + 0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h + 0 x))}{h}$

Paso 4.1.7.3

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h + 0))}{h}$

Paso 4.1.7.4

Suma $- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h$ y $0$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 10 h))}{h}$

Paso 4.1.7.5

Suma $- h^{2}$ y $0$ .

$\frac{0.01 (3 (- h^{2} - 2 x h + 10 h))}{h}$

Paso 4.1.7.6

Factoriza $h$ de $- h^{2} - 2 x h + 10 h$ .

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Paso 4.1.7.6.1

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) - 2 x h + 10 h))}{h}$

Paso 4.1.7.6.2

Factoriza $h$ de $- 2 x h$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 10 h))}{h}$

Paso 4.1.7.6.3

Factoriza $h$ de $10 h$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 10))}{h}$

Paso 4.1.7.6.4

Factoriza $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 10))}{h}$

Paso 4.1.7.6.5

Factoriza $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 10$ .

$\frac{0.01 (3 (h (- h - 2 x + 10)))}{h}$

$\frac{0.01 (3 h (- h - 2 x + 10))}{h}$

$\frac{0.01 \cdot 3 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Paso 4.1.8

Multiplica $0.01$ por $3$ .

$\frac{0.03 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.03 h (- h - 2 x + 10)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $0.03 (- h - 2 x + 10)$ por $1$ .

$0.03 (- h - 2 x + 10)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.03 (- h) + 0.03 (- 2 x) + 0.03 \cdot 10$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $0.03$ .

$- 0.03 h + 0.03 (- 2 x) + 0.03 \cdot 10$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 2$ por $0.03$ .

$- 0.03 h - 0.06 x + 0.03 \cdot 10$

Paso 4.3.3

Multiplica $0.03$ por $10$ .

$- 0.03 h - 0.06 x + 0.3$

Paso 4.4

Reordena $- 0.03 h$ y $- 0.06 x$ .

$- 0.06 x - 0.03 h + 0.3$

Paso 5