Precálculo Ejemplos

${(t + 3)}^{2} + 5$

Paso 1

Escribe ${(t + 3)}^{2} + 5$ como una función.

$f (t) = {(t + 3)}^{2} + 5$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$f (t + h) = {((t + h) + 3)}^{2} + 5$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Reescribe ${(t + h + 3)}^{2}$ como $(t + h + 3) (t + h + 3)$ .

$f (t + h) = (t + h + 3) (t + h + 3) + 5$

Paso 3.1.2.1.2

Expande $(t + h + 3) (t + h + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (t + h) = t \cdot t + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Paso 3.1.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.3.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Paso 3.1.2.1.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Paso 3.1.2.1.3.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Paso 3.1.2.1.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 \cdot h + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Paso 3.1.2.1.3.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Paso 3.1.2.1.4

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 3.1.2.1.4.1

Reordena $t$ y $h$ .

$f (t + h) = t^{2} + h t + h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Paso 3.1.2.1.4.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Paso 3.1.2.1.5

Suma $3 t$ y $3 t$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 3 h + 6 t + 3 h + 9 + 5$

Paso 3.1.2.1.6

Suma $3 h$ y $3 h$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 9 + 5$

Paso 3.1.2.2

Suma $9$ y $5$ .

$f (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$ .

$t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Paso 3.2

Reordena.

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Paso 3.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$2 h t + h^{2} + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Paso 3.2.2

Reordena $2 h t$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Paso 3.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

$f (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$f (t) = t^{2} + 6 t + 14$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - (t^{2} + 6 t + 14)}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - (6 t) - 1 \cdot 14}{h}$

Paso 5.1.2

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 1 \cdot 14}{h}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 14}{h}$

Paso 5.1.3

Resta $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 + 0 - 6 t - 14}{h}$

Paso 5.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 - 6 t - 14}{h}$

Paso 5.1.5

Resta $6 t$ de $6 t$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0 + 14 - 14}{h}$

Paso 5.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 14 - 14}{h}$

Paso 5.1.7

Resta $14$ de $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0}{h}$

Paso 5.1.8

Suma $h^{2} + 2 h t + 6 h$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h}{h}$

Paso 5.1.9

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h t + 6 h$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h t + 6 h}{h}$

Paso 5.1.9.2

Factoriza $h$ de $2 h t$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + 6 h}{h}$

Paso 5.1.9.3

Factoriza $h$ de $6 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 t) + h \cdot 6}{h}$

Paso 5.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 t)$ .

$\frac{h (h + 2 t) + h \cdot 6}{h}$

Paso 5.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 t) + h \cdot 6$ .

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Paso 5.2.1.2

Divide $h + 2 t + 6$ por $1$ .

$h + 2 t + 6$

Paso 5.2.2

Reordena $h$ y $2 t$ .

$2 t + h + 6$

Paso 6