Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 (x + h)}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} - (\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ por $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ por $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $24$ de $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $24$ de $- 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $24$ de $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 \cdot 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} + 0 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $3 e^{- 1.3 x}$ y $0$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Factoriza $3$ de $3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ .

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Paso 4.1.5.7.1

Factoriza $3$ de $3 e^{- 1.3 x}$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.7.2

Factoriza $3$ de $- 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.7.3

Factoriza $3$ de $3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ .

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{24 \cdot 3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}) \cdot 1}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Multiplica $72$ por $1$ .

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Paso 4.4.2

Reordena los factores en $\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$ .

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{h (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$

Paso 5