Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Factoriza ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza ${(x + h)}^{2}$ de $- {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza ${(x + h)}^{2}$ de ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de ${(x + h)}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{x + h - 1}$ .

$- \frac{1}{x + h - 1}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- - \frac{1}{x - 1}$ .

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x + h - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Paso 4.1.3

Para escribir $\frac{1}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Paso 4.1.4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6.6

Suma $h$ y $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 5