Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 7$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (7) - f (1)}{(7) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ por $f (7)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(7) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(7) - (1)}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $7$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{7} \cdot \frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$

Paso 3.2.2

Combinar.

$\frac{7 (\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1})}{7 (7 - (1))}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{7^{2} - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de $49$ .

$\frac{\sqrt{48} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.3

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$\frac{\sqrt{16 (3)} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1 - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0^{2}})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- 0)}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.9

Multiplica $7 (- 0)$ .

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Paso 3.5.9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 \cdot 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.9.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.5.10

Suma $4 \sqrt{3}$ y $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 (- (1))}$

Paso 3.6.2

Multiplica $7 (- (1))$ .

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 \cdot - 1}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 - 7}$

Paso 3.6.3

Resta $7$ de $49$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{42}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $4$ y $42$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{42}$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (21)}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 21}$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Forma decimal:

$0.16495721 \dots$