Precálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.2.2.1

Combina $7$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.3.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- ((x + h) (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- (x (x + h) + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.1.2.3.6

Multiplica $7$ por $4$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.2.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - (2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 h x)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.4

Factoriza $- 1$ de $- h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2}) + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.6

Reescribe $28$ como $- 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 \cdot - 28}{4}$

Paso 2.1.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 (- 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Paso 2.1.2.4.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.8.1

Reescribe $- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ como $- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Paso 2.1.2.4.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Paso 2.1.2.5

La respuesta final es $- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - (- \frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- - \frac{x^{2}}{4}$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + 1 \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{4}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28) + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica.

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 28$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.5.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 + 0}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.5.4

Suma $- 2 h x - h^{2} + 28$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7}{h}$

Paso 4.1.6

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Paso 4.1.7

Combina $- 7$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Paso 4.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Paso 4.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.9.1

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Paso 4.1.9.2

Resta $28$ de $28$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 0}{4}}{h}$

Paso 4.1.9.3

Suma $- 2 h x - h^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2}}{4}}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $- 2 h x - h^{2}$ .

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Paso 4.1.9.4.1

Factoriza $h$ de $- 2 h x$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) - h^{2}}{4}}{h}$

Paso 4.1.9.4.2

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x) + h (- h)}{4}}{h}$

Paso 4.1.9.4.3

Factoriza $h$ de $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{\frac{h (- 2 x - h)}{4}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x - h}{4}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - h}{4}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - h$ .

$\frac{- (2 x + h)}{4}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Reescribe $- (2 x + h)$ como $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{- 1 (2 x + h)}{4}$

Paso 4.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + h}{4}$

Paso 5