Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ ; $[1, \frac{3}{2}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ como una ecuación.

$y = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{3}{2}) - f (1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = 2 x^{2} - 2 x - 1$ por $f (\frac{3}{2})$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1) - (2 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2} - (1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 \frac{9}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{9 + 2 (2 (- 1) \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 + 2 (2 \cdot - 1 \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 + 2 (- 1 \cdot 3) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{9 + 2 \cdot - 3 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.8

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{9 - 6 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.10

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.10.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.10.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.11

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (0 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.12

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- - 1)}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.13

Multiplica $2 (- - 1)$ .

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Paso 3.4.13.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 \cdot 1}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.13.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.14

Resta $6$ de $9$ .

$\frac{3 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.15

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.4.16

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3}{3 + 2 (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2 (- (1))$ .

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{3 + 2 \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{3 - 2}$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 3.6

Divide $3$ por $1$ .

$3$