Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(\frac{1}{2})}^{x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (x + h) = \frac{1^{x + h}}{2^{x + h}}$

Paso 2.1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{2^{x + h}}$ .

$\frac{1}{2^{x + h}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{1}{2^{x}}$

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{1}{2^{x}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{2^{x + h}} - (\frac{1}{2^{x}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{1}{2^{x + h}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{1}{2^{x}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{2^{x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{1}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2^{x + h} \cdot 2^{x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2^{x + h}}$ por $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{x + h} \cdot 2^{x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $2^{x + h}$ por $2^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{x + h + x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2^{x}}$ por $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{x} \cdot 2^{h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $2^{x}$ por $2^{h + x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{x + h + x}}}{h}$

Paso 4.1.3.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h} h}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h} h}$ .

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{h \cdot 2^{2 x + h}}$

Paso 5