Precálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

Paso 1

Escribe $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ como una ecuación.

$y = \frac{2}{x + 3}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{2}{x + 3}$ por $f (3)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(3 + 3) (1 + 3)$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ por $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ .

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3 + 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $1 + 3$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{1 + 3}$ al numerador.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $1 + 3$ de $(3 + 3) (1 + 3)$ .

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.4.4

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.4.5

Resta $12$ de $8$ .

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5.3

Multiplica $6 \cdot 4 \cdot 3$ .

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5.4

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

Paso 3.5.6

Multiplica $6 \cdot 4 (- (1))$ .

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

Paso 3.5.6.3

Multiplica $24$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{72 - 24}$

Paso 3.5.7

Resta $24$ de $72$ .

$\frac{- 4}{48}$

Paso 3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $48$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{48}$

Paso 3.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1.2.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Paso 3.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

Paso 3.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{12}$

Paso 3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$