Precálculo Ejemplos

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \cot (x)$ como una ecuación.

$y = \cot (x)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (\frac{π}{3})}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \cot (x)$ por $f (\frac{π}{2})$ y $f (\frac{π}{3})$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\cot (\frac{π}{2})) - (\cot (\frac{π}{3}))}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $6$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{6 (\frac{π}{2} - \frac{π}{3})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{6 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 (3) \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 (- \frac{π}{3})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{3}$ al numerador.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 \frac{- π}{3}}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 (2) \frac{- π}{3}}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 \cdot 2 \frac{- π}{3}}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 2 (- π)}$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $6$ de $6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.3

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.6

Resta $\frac{\sqrt{3}}{3}$ de $0$ .

$\frac{6 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.7

Combina exponentes.

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Paso 3.4.7.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (6 \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.7.2

Combina $6$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{6 \sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.8

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 3.4.8.1

Factoriza $3$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{1}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.8.2.4

Divide $2 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- (2 \sqrt{3})}{3 π - 2 π}$

$\frac{- 1 \cdot 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.4.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

Paso 3.5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.5.1

Resta $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{π}$

Paso 3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

Forma decimal:

$- 1.10265779 \dots$