Precálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 2

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 3

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 3.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Paso 3.1.2

La respuesta final es $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Paso 3.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 4

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Para escribir $\frac{1}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Paso 5.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 5.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 5.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.5

Reescribe $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.5.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.5.3

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{x (x + h)}$ al numerador.

$\frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 5.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x (x + h)}$

Paso 5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x (x + h)}$

Paso 6