Precálculo Ejemplos

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ .

$65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{r (x + h) - r x}{h} = \frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - (65 x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $65$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

Paso 4.2

Reescribe $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.1

Factoriza $65$ de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $65$ de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $65$ de $- 65 x^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $65$ de $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})$ .

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{9}{10}} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Paso 4.2.2

Reescribe ${(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ como ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

Paso 4.2.3

Reescribe $x^{\frac{9}{10}}$ como ${(x^{\frac{3}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{3}{10}})}^{3})}{h}$

Paso 4.2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = {(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ y $b = x^{\frac{3}{10}}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{3}{10}} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Reescribe ${(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ como ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe $x^{\frac{3}{10}}$ como ${(x^{\frac{1}{10}})}^{3}$ .

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{10}})}^{3}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = {(x + h)}^{\frac{1}{10}}$ y $b = x^{\frac{1}{10}}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4

Simplifica.

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Paso 4.2.5.4.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.5.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{10}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{10} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.5

Multiplica los exponentes en ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.5.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

Paso 4.2.5.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{10}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.5.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Paso 4.2.5.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.6.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

Paso 4.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

Paso 4.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + x^{\frac{3}{5}})}{h}$

Paso 5