Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 4 e^{2 (x + h)} - 1$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $4 e^{2 x + 2 h} - 1$ .

$4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x} - 1)}{h}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x}) - - 1}{h}$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} - - 1}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} + 1}{h}$

Paso 4.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 0 - 4 e^{2 x}}{h}$

Paso 4.5

Suma $4 e^{2 x + 2 h}$ y $0$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Paso 4.6

Reescribe $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ en forma factorizada.

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Paso 4.6.1

Factoriza $4$ de $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $4$ de $4 e^{2 x + 2 h}$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 e^{2 x}$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})}{h}$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $4$ de $4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})$ .

$\frac{4 (e^{2 x + 2 h} - e^{2 x})}{h}$

Paso 4.6.2

Reescribe $e^{2 x + 2 h}$ como ${(e^{x + h})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - e^{2 x})}{h}$

Paso 4.6.3

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - {(e^{x})}^{2})}{h}$

Paso 4.6.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{x + h}$ y $b = e^{x}$ .

$\frac{4 (e^{x + h} + e^{x}) (e^{x + h} - e^{x})}{h}$

Paso 5