Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $[4, 9]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ por $f (9)$ y $f (4)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{1}{\sqrt{9}}) - (\frac{1}{\sqrt{4}})}{(9) - (4)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$ por $\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} (\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} (9 - (4))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{9}$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $\sqrt{9}$ de $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{9} (\sqrt{4}) \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $\sqrt{4}$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\sqrt{4}}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $\sqrt{4}$ de $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3^{2}} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + 3 \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 3}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.4.6

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{- 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 1}{\sqrt{3^{2}} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1}{3 \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{3 \sqrt{2^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1}{3 \cdot 2 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.5

Multiplica $3 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{3^{2}} \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{4} (- (4))}$

Paso 3.5.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{2^{2}} (- (4))}$

Paso 3.5.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 1}{54 + 3 \cdot 2 (- (4))}$

Paso 3.5.10

Multiplica $3 \cdot 2 (- (4))$ .

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Paso 3.5.10.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 (- (4))}$

Paso 3.5.10.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 \cdot - 4}$

Paso 3.5.10.3

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$\frac{- 1}{54 - 24}$

Paso 3.5.11

Resta $24$ de $54$ .

$\frac{- 1}{30}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{30}$