Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $[1, 9]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (9) - f (1)}{(9) - (1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ por $f (9)$ y $f (1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{1}{\sqrt{9}}) - (\frac{1}{\sqrt{1}})}{(9) - (1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $\sqrt{9} \sqrt{1}$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}}}{9 - (1)}$ por $\frac{\sqrt{9} \sqrt{1}}{\sqrt{9} \sqrt{1}}$ .

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1}}{\sqrt{9} \sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}}}{9 - (1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} (\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} (9 - (1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{9}$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $\sqrt{9}$ de $\sqrt{9} \sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{9} (\sqrt{1}) \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1}$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\sqrt{1}}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \sqrt{1} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $\sqrt{1}$ de $\sqrt{9} \sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{1} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{1} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3^{2}} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1 + 3 \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 3}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.4.5

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3^{2}} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 2}{3 \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 2}{3 \cdot 1 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.4

Multiplica $3 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 2}{3 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{- 2}{27 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- 2}{27 + \sqrt{3^{2}} \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 2}{27 + 3 \sqrt{1} (- (1))}$

Paso 3.5.7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 \cdot 1 (- (1))}$

Paso 3.5.8

Multiplica $3 \cdot 1 (- (1))$ .

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Paso 3.5.8.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 (- (1))}$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 \cdot - 1}$

Paso 3.5.8.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{27 - 3}$

Paso 3.5.9

Resta $3$ de $27$ .

$\frac{- 2}{24}$

Paso 3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $24$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{24}$

Paso 3.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 12}$

Paso 3.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 12}$

Paso 3.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{12}$

Paso 3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$