Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h - 2)}^{2}$ como $(x + h - 2) (x + h - 2)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h - 2) (x + h - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Paso 2.1.2.1.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Paso 2.1.2.1.3.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Paso 2.1.2.1.3.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Paso 2.1.2.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Paso 2.1.2.1.4

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.4.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Paso 2.1.2.1.4.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Paso 2.1.2.1.5

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

Paso 2.1.2.1.6

Resta $2 h$ de $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

Paso 2.1.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Paso 2.1.2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Paso 2.1.2.1.8.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Paso 2.1.2.1.8.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

Paso 2.1.2.1.8.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

Paso 2.1.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Paso 2.2.2

Reordena $4 h x$ y $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $2 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $2 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ y $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $2 h$ de $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $2 h$ de $2 h^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $2 h$ de $4 h x$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $2 h$ de $- 8 h$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $2 h$ de $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ .

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $2 h$ de $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ .

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $2 (h + 2 x - 4)$ por $1$ .

$2 (h + 2 x - 4)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 h + 4 x - 8$

Paso 4.4

Reordena $2 h$ y $4 x$ .

$4 x + 2 h - 8$

Paso 5