Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{3}{x + h - 2}$ .

$\frac{3}{x + h - 2}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x + h - 2} - (\frac{3}{x - 2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{3}{x + h - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{3}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 2) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{3}{x + h - 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{3}{x - 2}$ por $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x - 2) (x + h - 2)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $3$ de $3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h - - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 (0 - 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (3 h)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}$ al numerador.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Paso 5