Precálculo Ejemplos

Given the function $g (x) = - x^{2} + x + 5$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 4 \leq x \leq 3$

Paso 1

Escribe $g (x) = - x^{2} + x + 5$ como una ecuación.

$y = - x^{2} + x + 5$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (3) - f (- 4)}{(3) - (- 4)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - x^{2} + x + 5$ por $f (3)$ y $f (- 4)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{- {(3)}^{2} + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{(3) - (- 4)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{- {(3)}^{2} + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{(3) - (- 4)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 1 \cdot 16 - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 16 - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.4

Resta $4$ de $- 16$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 20 + 5)}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.5

Suma $- 20$ y $5$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - - 15}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 + 15}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.7

Suma $- 9$ y $3$ .

$\frac{- 6 + 5 + 15}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.8

Suma $- 6$ y $5$ .

$\frac{- 1 + 15}{3 - (- 4)}$

Paso 3.2.9

Suma $- 1$ y $15$ .

$\frac{14}{3 - (- 4)}$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{14}{3 + 4}$

Paso 3.3.2

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{14}{7}$

Paso 3.4

Divide $14$ por $7$ .

$2$