Precálculo Ejemplos

$g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ ; $[0, \frac{π}{6}]$

Paso 1

Escribe $g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ como una ecuación.

$y = 2 \cos^{2} (t)$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $t$ de los dos puntos.

$\frac{f (\frac{π}{6}) - f (0)}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = 2 \cos^{2} (t)$ por $f (\frac{π}{6})$ y $f (0)$ , mediante el reemplazo de $t$ en la función por el valor correspondiente de $t$ .

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) - (2 \cos^{2} (0))}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $6$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 (\frac{π}{6} - (0))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 \frac{3}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{12 (\frac{3}{4}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3) \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1^{2})}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1)}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.11

Multiplica $6 (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 2}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.11.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{9 - 12}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.4.12

Resta $12$ de $9$ .

$\frac{- 3}{π + 6 (- (0))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $6 (- (0))$ .

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3}{π + 6 \cdot 0}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{- 3}{π + 0}$

Paso 3.5.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{- 3}{π}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{π}$