Precálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ ; $[8, 14]$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ como una ecuación.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (14) - f (8)}{(14) - (8)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ por $f (14)$ y $f (8)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(- \frac{1}{2} \cdot {(14)}^{2} + 3 (14) + 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{2} + 3 (8) + 1)}{(14) - (8)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $2$ de $196$ .

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 1$ por $98$ .

$\frac{- 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $3$ por $14$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.2.2

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 (32)) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 32) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 1 \cdot 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.5.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 24 + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.6

Suma $- 32$ y $24$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 8 + 1)}{14 - (8)}$

Paso 3.1.7

Suma $- 8$ y $1$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - - 7}{14 - (8)}$

Paso 3.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 + 7}{14 - (8)}$

Paso 3.1.9

Suma $- 98$ y $42$ .

$\frac{- 56 + 1 + 7}{14 - (8)}$

Paso 3.1.10

Suma $- 56$ y $1$ .

$\frac{- 55 + 7}{14 - (8)}$

Paso 3.1.11

Suma $- 55$ y $7$ .

$\frac{- 48}{14 - (8)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 48}{14 - 8}$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de $14$ .

$\frac{- 48}{6}$

Paso 3.3

Divide $- 48$ por $6$ .

$- 8$