Precálculo Ejemplos

Given the function $g (x) = - x^{2} + 4 x + 9$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 2 \leq x \leq 4$

Paso 1

Escribe $g (x) = - x^{2} + 4 x + 9$ como una ecuación.

$y = - x^{2} + 4 x + 9$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (4) - f (- 2)}{(4) - (- 2)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - x^{2} + 4 x + 9$ por $f (4)$ y $f (- 2)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(- {(4)}^{2} + 4 (4) + 9) - (- {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 9)}{(4) - (- 2)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 + 4 (4) + 9 - (- {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{- 16 + 4 (4) + 9 - (- {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - (- {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - (- 1 \cdot 4 + 4 (- 2) + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - (- 4 + 4 (- 2) + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - (- 4 - 8 + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.5

Resta $8$ de $- 4$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - (- 12 + 9)}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.6

Suma $- 12$ y $9$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 - - 3}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 16 + 16 + 9 + 3}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.8

Suma $- 16$ y $16$ .

$\frac{0 + 9 + 3}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.9

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{9 + 3}{4 - (- 2)}$

Paso 3.1.10

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12}{4 - (- 2)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{12}{4 + 2}$

Paso 3.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{12}{6}$

Paso 3.3

Divide $12$ por $6$ .

$2$