Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{K x}{(A + x)}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ .

$\frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} - (\frac{K x}{A + x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{K x}{A + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(A + x + h) (A + x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ por $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{K x}{A + x}$ por $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(A + x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x) (A + x + h)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $K$ de $K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $K$ de $K (x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $K$ de $- K x (A + x + h)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $K$ de $K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Expande $(x + h) (A + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{K (x (A + x) + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x \cdot x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - (x \cdot x) - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Resta $x A$ de $x A$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x + 0 - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x + 0 - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $h A$ y $0$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.11.1

Reordena $h$ y $x$ .

$\frac{\frac{K (h A + x h - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.11.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{K (h A + 0)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $h A$ y $0$ .

$\frac{\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $K h A$ .

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{K A}{(A + x) (A + x + h)}$

Paso 5