Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ ; $[- 1, 10]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (10) - f (- 1)}{(10) - (- 1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{x^{2}}{x + 2}$ por $f (10)$ y $f (- 1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{{(10)}^{2}}{(10) + 2}) - (\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 2})}{(10) - (- 1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(10 + 2) (- 1 + 2)$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$ por $\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)}$ .

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2)}{(10 + 2) (- 1 + 2)} \cdot \frac{\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{10 - (- 1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) (\frac{10^{2}}{10 + 2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) (10 - (- 1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10 + 2$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(10 + 2) (- 1 + 2) \frac{10^{2}}{10 + 2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) (- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 1 + 2$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}$ al numerador.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- 1 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $- 1 + 2$ de $(10 + 2) (- 1 + 2)$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (- 1 + 2) (10 + 2) \frac{- {(- 1)}^{2}}{- 1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) (- {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{1 + 2}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.3.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{(- 1 + 2) \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1 \cdot 10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.2

Multiplica $10^{2}$ por $1$ .

$\frac{10^{2} + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{100 + (10 + 2) {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.4

Suma $10$ y $2$ .

$\frac{100 + 12 {(- 1)}^{3}}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{100 + 12 \cdot - 1}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.6

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{100 - 12}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.4.7

Resta $12$ de $100$ .

$\frac{88}{(10 + 2) (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Suma $10$ y $2$ .

$\frac{88}{12 (- 1 + 2) \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{88}{12 \cdot 1 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5.3

Multiplica $12 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{88}{12 \cdot 10 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $12$ por $10$ .

$\frac{88}{120 + (10 + 2) (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5.4

Suma $10$ y $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- 1 + 2) (- (- 1))}$

Paso 3.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1 (- (- 1))}$

Paso 3.5.6

Multiplica $12 \cdot 1 (- (- 1))$ .

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{88}{120 + 12 (- (- 1))}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{88}{120 + 12 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{88}{120 + 12}$

Paso 3.5.7

Suma $120$ y $12$ .

$\frac{88}{132}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $88$ y $132$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $44$ de $88$ .

$\frac{44 (2)}{132}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $44$ de $132$ .

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{44 \cdot 2}{44 \cdot 3}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3}$