Precálculo Ejemplos

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$

Paso 1

Escribe $g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ como una ecuación.

$y = - x^{2} + 24 x - 109$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (14) - f (8 s i)}{(14) - (8 s i)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = - x^{2} + 24 x - 109$ por $f (14)$ y $f (8 s i)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109) - (- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109)}{(14) - (8 s i)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $196$ .

$\frac{- 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.3

Multiplica $24$ por $14$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.4.1.1

Aplica la regla del producto a $8 s i$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.1.2

Aplica la regla del producto a $8 s$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (- 64 s^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.5

Multiplica $- 64$ por $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.4.6

Multiplica $24$ por $8$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 192 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2}) - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.6

Simplifica.

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $192$ por $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 109$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.7

Suma $- 196$ y $336$ .

$\frac{140 - 109 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.8

Resta $109$ de $140$ .

$\frac{31 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.9

Suma $31$ y $109$ .

$\frac{- 64 s^{2} - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.10

Factoriza $4$ de $- 64 s^{2} - 192 s i + 140$ .

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Paso 3.1.10.1

Factoriza $4$ de $- 64 s^{2}$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2}) - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.10.2

Factoriza $4$ de $- 192 s i$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.10.3

Factoriza $4$ de $140$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.10.4

Factoriza $4$ de $4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i)$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.1.10.5

Factoriza $4$ de $4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 8 s i}$

Paso 3.2.2

Factoriza $2$ de $14 - 8 s i$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) - 8 s i}$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 8 s i$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) + 2 (- 4 s i)}$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (7) + 2 (- 4 s i)$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7 - 4 s i)}$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)$ .

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 16 s^{2}$ .

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 48 s i$ .

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - (48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (16 s^{2}) - (48 s i)$ .

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.5

Reescribe $35$ como $- 1 (- 35)$ .

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35))}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35)$ .

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.1

Reescribe $- (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ como $- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ .

$\frac{2 (- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

Paso 3.3.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (16 s^{2} + 48 s i - 35)}{7 - 4 s i}$