Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ ; $[- 2, 2]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ por $f (2)$ y $f (- 2)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - {(2)}^{3}) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{(2) - (- 2)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 16 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot 16 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 - 8 - (4 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 - 8 - (4 - - 8)}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{4 - 8 - (4 + 8)}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.6

Suma $4$ y $8$ .

$\frac{4 - 8 - 1 \cdot 12}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.7

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{4 - 8 - 12}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.8

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 - 12}{2 - (- 2)}$

Paso 3.1.9

Resta $12$ de $- 4$ .

$\frac{- 16}{2 - (- 2)}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 16}{2 + 2}$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{- 16}{4}$

Paso 3.3

Divide $- 16$ por $4$ .

$- 4$