Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 3}$ ; $[- 1, 5]$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x}{x + 3}$ como una ecuación.

$y = \frac{x}{x + 3}$

Paso 2

Sustituye mediante la fórmula de tasa de cambio promedio.

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Paso 2.1

La tasa de cambio promedio de una función puede obtenerse mediante el cálculo del cambio en los valores $y$ de los dos puntos dividido por el cambio en los valores $x$ de los dos puntos.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Paso 2.2

Sustituye la ecuación $y = \frac{x}{x + 3}$ por $f (5)$ y $f (- 1)$ , mediante el reemplazo de $x$ en la función por el valor correspondiente de $x$ .

$\frac{(\frac{5}{(5) + 3}) - (\frac{- 1}{(- 1) + 3})}{(5) - (- 1)}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$ por $\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)}$ .

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)} \cdot \frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) (\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) (5 - (- 1))}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $5 + 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 1 + 3$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- 1}{- 1 + 3}$ al numerador.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $- 1 + 3$ de $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.4.3

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{15 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.4.4

Suma $15$ y $3$ .

$\frac{18}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Suma $5$ y $3$ .

$\frac{18}{8 (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{18}{8 \cdot 2 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5.3

Multiplica $8 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{18}{16 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $16$ por $5$ .

$\frac{18}{80 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5.4

Suma $5$ y $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Paso 3.5.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 \cdot 2 (- (- 1))}$

Paso 3.5.6

Multiplica $8 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{18}{80 + 16 (- (- 1))}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{18}{80 + 16 \cdot 1}$

Paso 3.5.6.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{18}{80 + 16}$

Paso 3.5.7

Suma $80$ y $16$ .

$\frac{18}{96}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $18$ y $96$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$\frac{6 (3)}{96}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $6$ de $96$ .

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{16}$