Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

Paso 1.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Paso 2.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.6.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 2.7.1.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

Paso 2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

Paso 2.7.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

Paso 2.8

Mueve $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = 2 A - 4 B$

Paso 3.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

Paso 4.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = 2 A - 4 B$ por $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $2 (1 - B) - 4 B$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $4 B$ de $- 2 B$ .

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3

Resuelve $B$ en $5 = 2 - 6 B$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $2 - 6 B = 5$ .

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.2

Resta $2$ de $5$ .

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $- 6 B = 3$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $- 6 B = 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ y $- 6$ .

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Paso 4.3.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $1 - (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Paso 4.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$