Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ .

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Paso 3.2

Simplifica ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Paso 3.2.2.2

Combina $\frac{1}{7}$ y $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Paso 3.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $3125$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Paso 3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Paso 3.5

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{7}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6

Simplifica el exponente.

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Paso 3.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.6.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.6.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.1.1.1.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.6.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.1.1.2

Simplifica.

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3125 x$ .

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2.1.1.2

Reescribe $3125$ como $5^{5}$ .

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.6.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.6.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Paso 5.2.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Paso 5.2.4.2

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.5.1

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $78125$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Paso 5.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $78125 x^{\frac{7}{5}}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $78125$ como $5^{7}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.5

Evalúa el exponente.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.2.1

Divide $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$