Precálculo Ejemplos

$f (x) = \csc (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

Paso 2

Para cualquier $y = \csc (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ . Establece el interior de la función cosecante, $b x + c$ , para que $y = a \csc (b x + c) + d$ sea igual a $0$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4

Establece el interior de la cosecante $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ igual a $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = 2 π$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4}$

Paso 5.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 5.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{8 π + π}{4}$

Paso 5.1.5.2

Suma $8 π$ y $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π}{4}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{9 π}{4}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{9 π}{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{9 π}{2 (2)}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{9 π}{2}$

Paso 6

El período básico de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ se producirá en $(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , donde $\frac{π}{2}$ y $\frac{9 π}{2}$ son asíntotas verticales.

$(\frac{π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Paso 7

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 7.1

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 8

Las asíntotas verticales de $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ se producen en $\frac{π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ y en cada $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$

Paso 9

La cosecante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = \frac{π}{2} + 2 π n$ donde $n$ es un número entero

Paso 10