Precálculo Ejemplos

$\log (2 x^{2} + 3 x) = \log (6 x + 2)$

Paso 1

Establece el argumento en $\log (2 x^{2} + 3 x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x^{2} + 3 x > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 3 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $2 x^{2} + 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) + 3 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$x (2 x) + x \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 x) + x \cdot 3$ .

$x (2 x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 0$

$x > 0$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) > 0$

Paso 2.8.1.3

$20$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{3}{2} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$2 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) > 0$

Paso 2.8.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 {(2)}^{2} + 3 (2) > 0$

Paso 2.8.3.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadero

$- \frac{3}{2} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - \frac{3}{2}$ Verdadero

$- \frac{3}{2} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{3}{2}$ o $x > 0$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - \frac{3}{2}, x > 0}$

Paso 4