Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ como $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $y^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Paso 3.1.2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Paso 3.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y^{2}}$ como $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Simplifica $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $100000$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $y$ por $y^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $y$ por $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.5.1.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Paso 3.5.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Paso 3.5.1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Paso 3.5.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Paso 3.5.1.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Paso 3.6

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7

Simplifica el exponente.

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Paso 3.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.7.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.7.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.1.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.1.1.2

Simplifica.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2.1.1.2

Reescribe $100000$ como $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.7.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Paso 3.7.2.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Paso 5.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Paso 5.2.5

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $1000$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Paso 5.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $1000 x^{\frac{3}{5}}$ como ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.4.2.1

Divide $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$