Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Paso 3.4

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{5} = 9 x + 6$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Paso 3.6

Factoriza $3$ de $9 x + 6$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Paso 3.6.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Paso 3.6.3

Factoriza $3$ de $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Paso 5.2.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Paso 5.2.5

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Paso 5.2.7

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Paso 5.2.8

Reescribe $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Paso 5.2.8.2

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Paso 5.2.8.3

Suma $x^{5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Paso 5.2.9

Combina $3$ y $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Paso 5.2.10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.10.1

Reduce la expresión $\frac{3 x^{5}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.10.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Paso 5.2.10.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Paso 5.2.10.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Paso 5.2.11

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ como ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Paso 5.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Paso 5.3.3.7

Resta $6$ de $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Paso 5.3.3.8

Suma $9 x$ y $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$