Precálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 16$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Paso 6.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 6.1.2.1.2

Divide $4 (x + 2)$ por $1$ .

$4 (x + 2)$

Paso 6.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2$

Paso 6.1.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 x + 8$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 4 x + 8$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 4 x + 8$

Paso 8