Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ como una ecuación.

$y = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ por $9$ .

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Paso 3.2.2.2

Divide ${(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{9}$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y + 9 = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(\frac{x}{9})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{9}$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{9^{3}}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{729}$

Paso 3.5

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ es la inversa de $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{9^{3} {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Paso 5.2.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Paso 5.2.3.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Paso 5.2.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Paso 5.2.3.1.4

Simplifica.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $729$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x + 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 9 - 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 9 - 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{729} - 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {((\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.3.1

Combina los términos opuestos en $(\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.1.2

Suma $\frac{x^{3}}{729}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{3}}{729}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.4.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.4.2

Simplifica.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.5.1

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Paso 5.3.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.5.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Paso 5.3.5.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.3.5.4

Evalúa el exponente.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ es la inversa de $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$