Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ no está definida.

$x = - 1, x = 1$

Paso 2

Como $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Como $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la izquierda y $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $1$ desde la derecha, entonces $x = 1$ es una asíntota vertical.

$x = 1$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 1, 1$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x$ .

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 8.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 8.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2

Expande $2 x (x^{2} + 1)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2.2

Mueve $x$ .

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 8.3

Expande $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.4

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}$

Paso 8.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x - 1}$

Paso 8.3.11

Suma $- 1 x$ y $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 0 - 1}$

Paso 8.3.12

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 0 - 2 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

Paso 8.9

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

$0$

Paso 8.10

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x + \frac{4 x}{x^{2} - 1}$

Paso 8.11

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 2 x$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1, 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 2 x$

Paso 10