Precálculo Ejemplos

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2} + 12 x - 177$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) - 177}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 177$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 (2 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2} + x - 30$ con el método AC.

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Paso 1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $1$ .

$- 5, 6$

Paso 1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{(x - 5) (x + 6)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 5) (x + 6)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.6.2

Divide $3 (2 x^{2} + 4 x - 59)$ por $1$ .

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59) = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.8.3

Multiplica $3$ por $- 59$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 1.9.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{A (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9.1.2

Divide $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9.3

Mueve $6$ a la izquierda de $A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9.4

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.9.4.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 1.9.4.2

Divide $(B) (x - 5)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + (B) (x - 5)$

Paso 1.9.5

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 5$

Paso 1.9.6

Mueve $- 5$ a la izquierda de $B$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x - 5 B$

Paso 1.10

Mueve $6 A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + B x + 6 A - 5 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$12 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 177 = 6 A - 5 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $12 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 12$ .

$A + B = 12$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $12 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 177 = 6 A - 5 B$ por $12 - B$ .

$- 177 = 6 (12 - B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $6 (12 - B) - 5 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 177 = 6 \cdot 12 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $6$ por $12$ .

$- 177 = 72 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $5 B$ de $- 6 B$ .

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 177 = 72 - 11 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $72 - 11 B = - 177$ .

$72 - 11 B = - 177$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $72$ de ambos lados de la ecuación.

$- 11 B = - 177 - 72$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $72$ de $- 177$ .

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 11 B = - 249$ por $- 11$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 11 B = - 249$ por $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 11$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{249}{11}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 12 - B$ por $\frac{249}{11}$ .

$A = 12 - (\frac{249}{11})$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $12 - (\frac{249}{11})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$A = 12 \cdot \frac{11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina $12$ y $\frac{11}{11}$ .

$A = \frac{12 \cdot 11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{12 \cdot 11 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.4.1

Multiplica $12$ por $11$ .

$A = \frac{132 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2.1.4.2

Resta $249$ de $132$ .

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.4.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{117}{11}, B = \frac{249}{11}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{117}{11}}{x - 5} + \frac{\frac{249}{11}}{x + 6}$