Precálculo Ejemplos

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Paso 2

Resuelve $t$

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Paso 2.1

Factoriza $t$ de $t^{3} + 6 t^{2} + t$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $t$ de $6 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Paso 2.1.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $t$ de $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ .

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $t$ de $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 2.4

Establece $t^{2} + 6 t + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.4.1

Establece $t^{2} + 6 t + 1$ igual a $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ en $t$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $t$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.3.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.3

Resta $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.4.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.5.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.3

Resta $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.5.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ verdadera.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $t$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Paso 4