Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt{3 x^{2} - 12}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{3 x^{2} - 12}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 x^{2} - 12 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Suma $12$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} \geq 12$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 x^{2} \geq 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} \geq 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} \geq \frac{12}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} \geq \frac{12}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{12}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x^{2} \geq 4$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Paso 2.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $\sqrt{4}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq | 2 |$

Paso 2.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | \geq 2$

Paso 2.5

Escribe $| x | \geq 2$ como una función definida por partes.

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Paso 2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \geq 2$

Paso 2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \geq 2$

Paso 2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.6

Obtén la intersección de $x \geq 2$ y $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Paso 2.7

Divide cada término en $- x \geq 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.7.1

Divide cada término de $- x \geq 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x \leq - 2$

Paso 2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{5 x}{\sqrt{3 x^{2} - 12}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{3 x^{2} - 12} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 x^{2} - 12}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x^{2} - 12}$ como ${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x^{2} - 12)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$3 x^{2} - 12 = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 12$

Paso 4.3.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Paso 4.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 4.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 4.3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 4.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 4.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 4.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 2, x > 2}$

Paso 6