Precálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 8 x^{5} - 7$ como una ecuación.

$y = 8 x^{5} - 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 8 y^{5} - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $8 y^{5} - 7 = x$ .

$8 y^{5} - 7 = x$

Paso 3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y^{5} = x + 7$

Paso 3.3

Divide cada término en $8 y^{5} = x + 7$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $8 y^{5} = x + 7$ por $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ como $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt[5]{8}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Paso 3.5.4.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Paso 3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Paso 3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Paso 3.5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ como $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Paso 3.5.5.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Paso 3.5.5.3

Reescribe $4096$ como $4^{5} \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.3.1

Factoriza $1024$ de $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Paso 3.5.5.3.2

Reescribe $1024$ como $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Paso 3.5.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Paso 3.5.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

Paso 3.5.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.6.1

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.6.1.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

Paso 3.5.6.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.6.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.5.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.5.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.5.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Suma $8 x^{5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $32 x^{5}$ como ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Paso 5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ como $4 (x + 7)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ como ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $4$ de $4 x + 28$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.4.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.4.2

Factoriza $4$ de $28$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.2.4.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Paso 5.3.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $x + 7$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$